El teorema de Noether y porqué es tan importante

El teorema de Noether es uno de los pilares fundamentales de la física teórica, que conecta las simetrías de un sistema físico con las leyes de conservación. Fue formulado por la matemática alemana Emmy Noether en 1915, en el contexto de la mecánica clásica y la relatividad, pero se aplica ampliamente en física cuántica, teoría de campos y más. A continuación, te lo explico en detalle, paso a paso, de manera estructurada y accesible. Usaré un enfoque matemático pero intuitivo, asumiendo conocimientos básicos de cálculo y mecánica (como lagrangianos). Si algo no queda claro, ¡pide más detalles!

Paso 1: Conceptos previos necesarios

Antes de entrar en el teorema, necesitamos entender algunos términos clave:

• Simetría: Una transformación que deja invariante (sin cambios) las ecuaciones que describen el sistema. Por ejemplo:
  • Traslación en el espacio (mover todo el sistema unos metros): La física no cambia.
  • Traslación en el tiempo (avanzar o retroceder en el tiempo): Las leyes son las mismas.
  • Rotación: Girar el sistema no altera las ecuaciones.
• Acción y lagrangiano: En mecánica lagrangiana, describimos un sistema con una función llamada lagrangiano \( L(q, \dot{q}, t) \), donde \( q \) son coordenadas generalizadas, \( \dot{q} \) velocidades y \( t \) tiempo. La acción \( S \) es la integral del lagrangiano a lo largo de una trayectoria: \( S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt \).
• Principio de acción mínima (o de Hamilton): La trayectoria real del sistema minimiza (o hace estacionaria) la acción. Esto lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange: \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \).
• Conservación: Una cantidad (como energía, momento lineal o angular) que no cambia con el tiempo.

El teorema dice: Para cada simetría continua del lagrangiano, existe una cantidad conservada asociada.

Paso 2: Enunciado del teorema

En su forma más simple (para mecánica clásica):

• Si el lagrangiano \( L \) es invariante bajo una transformación continua parametrizada por un parámetro infinitesimal \( \epsilon \), entonces existe una cantidad \( Q \) (carga de Noether) que se conserva: \( \frac{dQ}{dt} = 0 \).

En general:

• Simetría → Conservación. Ejemplos:
  • Invariancia temporal → Conservación de la energía.
  • Invariancia espacial (traslación) → Conservación del momento lineal.
  • Invariancia rotacional → Conservación del momento angular.

Ahora, derivémoslo paso a paso.

Paso 3: Derivación paso a paso

Consideremos un sistema con una coordenada generalizada \( q(t) \) (puede generalizarse a múltiples). Supongamos una transformación infinitesimal de simetría:

• La coordenada se transforma como \( q(t) \to q'(t) = q(t) + \delta q(t) \), donde \( \delta q = \epsilon \cdot f(q, \dot{q}, t) \) y \( \epsilon \) es infinitesimal.
• El tiempo podría transformarse, pero para simetrías simples, asumimos \( t' = t \) (simetrías internas).

Para que sea una simetría, el lagrangiano debe cambiar como máximo en una derivada total (que no afecta la acción): \( \delta L = \frac{d}{dt} (\epsilon \cdot g) \), donde \( g \) es alguna función.

Subpaso 3.1: Variación de la acción

La acción variada es \( \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta L \, dt \).
Dado que la trayectoria real hace \( \delta S = 0 \) para variaciones arbitrarias, pero aquí la variación es específica de la simetría.

Calculamos \( \delta L \):

•  \( \delta L = \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t \) (pero \( \delta t = 0 \) por ahora).

•  \( \delta \dot{q} = \frac{d}{dt} (\delta q) \).

Subpaso 3.2: Usar ecuaciones de Euler-Lagrange

De las ecuaciones de movimiento: \( \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \).
Sustituyendo en \( \delta L \):
\( \delta L = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) \).

(Esto se deriva integrando por partes en la variación de la acción).

Subpaso 3.3: Condición de simetría

Para que sea simetría, \( \delta L = 0 \) (o una divergencia, pero simplifiquemos a invariancia exacta).
Entonces, \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) = 0 \).
Por lo tanto, la cantidad \( Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \) es constante: \( \frac{dQ}{dt} = 0 \).

¡Esa es la carga de Noether! Para simetrías más generales, se ajusta la fórmula.

En múltiples coordenadas \( q_i \), \( Q = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta q_i \).

Paso 4: Ejemplos concretos

Apliquémoslo paso a paso a casos clásicos.

Ejemplo 1: Conservación del momento lineal (simetría traslacional)

•  Sistema: Partícula libre, \( L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) \). Asumamos \( V \) no depende de \( x \) (espacio homogéneo).
   
•  Transformación: \( x \to x + \epsilon \) (traslación infinitesimal), así \( \delta x = \epsilon \), \( \delta \dot{x} = 0 \).
   
•  \( \delta L = 0 \) porque \( L \) no depende explícitamente de \( x \).
   
•  Carga: \( Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta x = m \dot{x} \cdot \epsilon \).
   
•  Dividiendo por \( \epsilon \), la cantidad conservada es \( p = m \dot{x} \) (momento lineal)..

Ejemplo 2: Conservación de la energía (simetría temporal)

•  Transformación: \( t \to t + \epsilon \), lo que implica \( \delta q = -\dot{q} \epsilon \) (porque la trayectoria se desplaza en tiempo).
   
•  Si \( L \) no depende explícitamente de \( t \) (tiempo homogéneo), \( \delta L = 0 \).
   
•  Carga: \( Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (-\dot{q} \epsilon) - L \epsilon \) (aquí se incluye un término extra por la variación temporal).
   
•  Simplificando: \( Q / \epsilon = -H \), donde \( H = \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L \) es el hamiltoniano (energía).

Ejemplo 3: Conservación del momento angular (simetría rotacional)

•  Para una partícula en 2D: \( L = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - V(r) \), con \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) (potencial central).
   
•  Transformación rotacional: \( \delta x = -\epsilon y \), \( \delta y = \epsilon x \).
   
•  \( \delta L = 0 \) porque el potencial depende solo de \( r \).
   
•  Carga: \( Q = m \dot{x} (-\epsilon y) + m \dot{y} (\epsilon x) = \epsilon (m x \dot{y} - m y \dot{x}) \).
   
•  Conservado: \( L_z = x p_y - y p_x \) (momento angular).
   

Paso 5: Generalizaciones y aplicaciones modernas

• En teoría de campos: Se extiende a campos $\phi(x^\mu)$, donde simetrías como Lorentz llevan a conservación de energía-momento y cargas.
• En cuántica: Las simetrías generan operadores conservados (como el Hamiltoniano para energía).
• Simetrías gauge: En electromagnetismo o QCD, simetrías locales llevan a conservación de carga eléctrica o color.
• Limitaciones: No aplica a simetrías discretas (como paridad) directamente, y en sistemas disipativos o no lagrangianos, se complica.
• Importancia: Explica por qué el universo es "predecible" (conservaciones permiten predecir el futuro desde el presente). Sin Noether, la física sería caótica.