Derivación del Teorema de Noether en Teoría de Campos

En teoría de campos (como en la electrodinámica clásica o la teoría cuántica de campos), el teorema de Noether se generaliza de la mecánica de partículas a sistemas con infinitos grados de libertad, descritos por campos \( \phi^a(x) \) donde \( x^\mu = (t, \mathbf{x}) \) son coordenadas espaciotemporales, y \( a \) indexa componentes del campo (por ejemplo, escalar, vectorial, etc.). Aquí, el lagrangiano se reemplaza por una densidad lagrangiana \( \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi, x) \), y la acción es \( S = \int d^4x \, \mathcal{L} \).

El teorema establece que para cada simetría continua de la acción, existe una corriente conservada \( J^\mu \), tal que \( \partial_\mu J^\mu = 0 \), lo que implica una carga conservada \( Q = \int d^3x \, J^0 \).

A continuación, la derivación paso a paso, asumiendo relatividad especial (espacio-tiempo de Minkowski) y notación con \( \mu = 0,1,2,3 \), \( \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} \).

Paso 1: Conceptos previos

• Acción: \( S = \int d^4x \, \mathcal{L} \).
• Ecuaciones de Euler-Lagrange: Para cada campo \( \phi^a \), \( \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^a} = 0 \).
• Transformación de simetría:Una variación infinitesimal \( \delta \phi^a = \epsilon^k \, f^a_k(\phi, \partial \phi, x) \), donde \( \epsilon^k \) son parámetros infinitesimales (puede haber múltiples simetrías, indexadas por \( k \)).
•  Para simetrías espaciotemporales, también puede haber \( \delta x^\mu = \epsilon^k \, X^\mu_k(x) \).
•  Condición de simetría: La variación de la acción es cero o una divergencia de superficie (que no afecta las ecuaciones de movimiento): \( \delta S = 0 \) (o boundary terms).

Paso 2: Variación general de la densidad lagrangiana

Consideremos una transformación general:

•  \( \delta \phi^a = \epsilon^k \, \delta_k \phi^a \) (donde \( \delta_k \phi^a \) es la variación funcional específica).
•  La variación de \( \mathcal{L} \) es:  \[  \delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^a} \delta \phi^a + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \delta (\partial_\mu \phi^a) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} \delta x^\mu. \]
•  Pero \( \delta (\partial_\mu \phi^a) = \partial_\mu (\delta \phi^a) - (\partial_\mu \delta x^\nu) \partial_\nu \phi^a \) (por regla de Leibniz para coordenadas transformadas).

Paso 3: Usar las ecuaciones de movimiento

Sustituyendo las ecuaciones de Euler-Lagrange:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^a} = \partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi^a)} \right).
\]
Entonces,
\[
\delta \mathcal{L} = \partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi^a)} \right) \delta \phi^a + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \left[ \partial_\mu (\delta \phi^a) - (\partial_\mu \delta x^\nu) \partial_\nu \phi^a \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} \delta x^\mu.
\]
Agrupando términos:
\[
\delta \mathcal{L} = \partial_\mu \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \delta \phi^a - \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \partial_\nu \phi^a - \delta^\mu_\nu \mathcal{L} \right) \delta x^\nu \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} \delta x^\mu.
\]
El término entre corchetes es el tensor energía-momento canónico \( T^\mu_\nu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \partial_\nu \phi^a - \delta^\mu_\nu \mathcal{L} \).

Paso 4: Condición de simetría

Para que sea una simetría, \( \delta \mathcal{L} = \partial_\mu (\epsilon^k \, K^\mu_k) \) para alguna función \( K^\mu_k \) (esto permite simetrías cuasi-invariantes, comunes en gauge).
Entonces, igualando:
\[
\partial_\mu \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \delta_k \phi^a - T^\mu_\nu \, \delta_k x^\nu + K^\mu_k \right] = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} \delta_k x^\mu.
\]
Si \( \mathcal{L} \) no depende explícitamente de \( x^\mu \) (espacio-tiempo homogéneo), el lado derecho es cero. Así, la corriente de Noether es:
\[
J^\mu_k = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^a)} \delta_k \phi^a - T^\mu_\nu \, \delta_k x^\nu + K^\mu_k,
\]
y se conserva on-shell (cumpliendo ecuaciones de movimiento): \( \partial_\mu J^\mu_k = 0 \).

Paso 5: Ejemplos en teoría de campos

• Traslaciones espaciotemporales (\( \delta x^\mu = \epsilon^\nu \), \( \delta \phi = 0 \)): \( J^\mu_\nu = T^\mu_\nu \), conservación de energía-momento.
• Rotaciones Lorentz (simetrías del grupo de Poincaré): Llevan a conservación de momento angular y cargas relacionadas.
• Para un campo escalar real \( \phi \), con simetría interna \( \delta \phi = \epsilon \phi \) (si es compleja, sería fase), genera corrientes como la de carga.

Esta derivación es para simetrías globales; ahora pasamos a gauge.

Explicación de la Simetría Gauge

La simetría gauge es una simetría local (dependiente de la posición \( x \)), a diferencia de las globales (constantes en todo el espacio-tiempo) del teorema de Noether estándar. En el teorema, las simetrías gauge llevan a identidades (como las de Ward en QFT) y corrientes conservadas, pero también imponen restricciones (como la ecuación de continuidad para la carga).

Paso 1: ¿Qué es una simetría gauge?

• Es una redundancia en la descripción del sistema: Transformaciones que cambian las variables pero dejan invariantes los observables físicos.
• Ejemplo básico: En electromagnetismo, el potencial vector \( A^\mu \) se transforma como \( A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \Lambda(x) \), donde \( \Lambda(x) \) es una función arbitraria local. El campo físico \( F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \) permanece invariante.

Paso 2: Relación con Noether

• Para simetrías globales ( \( \epsilon \) constante), Noether da corrientes conservadas directamente (e.g., conservación de carga eléctrica).
• Para gauge (local), la invariancia requiere introducir campos gauge (como \( A^\mu \)) que "compensan" la dependencia local.
• La derivación de Noether se aplica, pero la corriente \( J^\mu \) satisface \( \partial_\mu J^\mu = 0 \) idénticamente (por la gauge), lo que asegura consistencia (e.g., ecuación de Maxwell \( \partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu \), con \( \partial_\nu J^\nu = 0 \)).

Paso 3: Construcción paso a paso en un ejemplo (electrodinámica)

•  Considera un campo complejo escalar \( \psi \) (representa electrón), con lagrangiano \( \mathcal{L} = (\partial_\mu \psi^*) (\partial^\mu \psi) - m^2 \psi^* \psi \).
   
•  Simetría global: \( \psi \to e^{i\alpha} \psi \) ( \( \alpha \) constante), \( \delta \psi = i \epsilon \psi \).
   
•  Corriente de Noether: \( J^\mu = i (\psi^* \partial^\mu \psi - \psi \partial^\mu \psi^*) \), conservada.
   
•  Para hacerla local (gauge): \( \alpha(x) \), pero ahora \( \partial_\mu \psi \to e^{i\alpha} (\partial_\mu \psi + i (\partial_\mu \alpha) \psi) \), rompiendo la invariancia.
   
•  Solución: Introduce campo gauge \( A_\mu \), y reemplaza \( \partial_\mu \to D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu \) (derivada covariante).
   
•  Transformación: \( \psi \to e^{i e \Lambda} \psi \), \( A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda \).
   
•  Lagrangiano gauge-invariante: \( \mathcal{L} = (D_\mu \psi^*) (D^\mu \psi) - m^2 \psi^* \psi - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \).
   
•  La simetría gauge asegura conservación de carga y dinámica de los fotones.

Paso 4: Importancia

• En el Modelo Estándar: Simetrías gauge SU(3)×SU(2)×U(1) explican fuerzas fuertes, débiles y electromagnéticas.
• En QFT: Las gauge dan renormalizabilidad y cuantización (e.g., fantasmas de Fadeev-Popov).
• Consecuencias: Partículas sin masa como fotones (por gauge), y mecanismos como Higgs para dar masa a bosones débiles.

En resumen, en teoría de campos, Noether generaliza las conservaciones a corrientes locales, y las simetrías gauge extienden esto a redundancias locales, fundamentales para las interacciones fundamentales.