Imagina dos relojes idénticos sobre una mesa. Tomamos uno de ellos y lo lanzamos verticalmente hacia arriba, permitiendo que alcance una altura de un metro antes de caer de nuevo a la mesa. Suponiendo una gravedad constante de y una Tierra no giratoria para simplificar, la pregunta es: ¿el reloj lanzado se retrasa, se adelanta o permanece sincronizado con el reloj que se quedó en la mesa?
La respuesta no es trivial, ya que entran en juego dos efectos relativistas opuestos: la dilatación del tiempo por velocidad (Relatividad Especial) y la dilatación del tiempo gravitacional (Relatividad General).
1. Efecto de la Relatividad Especial: La Dilatación por Velocidad
Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, un reloj en movimiento siempre corre más lento que un reloj idéntico en reposo, desde la perspectiva de un observador en el marco de reposo. Este efecto es más pronunciado cuanto mayor es la velocidad.
El factor de dilatación de Lorentz $\gamma$ se define como:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
Donde v es la velocidad del reloj en movimiento y c es la velocidad de la luz en el vacío (≈3×108 m/s).
El tiempo propio dt′ (el tiempo medido por el reloj en movimiento) se relaciona con el tiempo dt medido por el reloj en reposo mediante:
$$dt' = \frac{dt}{\gamma} = dt \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
Dado que $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} < 1$ (para $v>0$), $dt′<dt$. Esto significa que el reloj en movimiento acumula menos tiempo, es decir, se retrasa.
2. Efecto de la Relatividad General: La Dilatación Gravitacional
La Teoría de la Relatividad General nos dice que la gravedad afecta la curvatura del espacio-tiempo, y esto tiene una consecuencia directa sobre el paso del tiempo. Los relojes en un campo gravitacional más fuerte (es decir, a menor altitud o más cerca de una masa) corren más lento que los relojes en un campo gravitacional más débil (a mayor altitud o más lejos de una masa).
Para una aproximación de campo débil y alturas pequeñas, la relación entre el tiempo $dt_h$ en una altura h y el tiempo $dt_0$ en la superficie ($h=0$) es:
$$dt_h = dt_0 \left({1+\frac{gh}{c^2}}\right) $$
Dado que $\left({1+\frac{gh}{c^2}}\right)>1$ (para h>0), $dt_h>dt_0$. Esto significa que el reloj a mayor altura acumula más tiempo, es decir, se adelanta en comparación con el reloj en la mesa.
El Interjuego de los Efectos: ¿Quién Gana?
En nuestro ejemplo del reloj lanzado, ambos efectos actúan simultáneamente y en direcciones opuestas:
El efecto de la velocidad hace que el reloj se retrase.
El efecto de la gravedad (al estar a mayor altura) hace que el reloj se adelante con respecto al reloj en la mesa.
Para determinar el resultado neto, necesitamos integrar ambos efectos a lo largo de la trayectoria del reloj. El tiempo propio del reloj en movimiento, considerando ambos efectos en una aproximación de campo débil y velocidades no relativistas, está dado por:
$$d\tau = dt \sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}-\frac{2gh(t)}{c^2}}$$
Donde es la velocidad instantánea y es la altura instantánea del reloj. El término $\frac{2gh(t)}{c^2}$ en la raíz es una forma común de expresar el potencial gravitatorio en la métrica. Si el término $\frac{2gh(t)}{c^2}$ es positivo, la raíz es menor, lo que implica que el tiempo propio es menor (el reloj se retrasa). Sin embargo, esto es en el contexto de la métrica de Schwarzschild. Para comparar con un reloj en la superficie, el efecto gravitacional es que el reloj a mayor altura (menor potencial gravitatorio "negativo") corre más rápido.
Una forma más intuitiva de ver la diferencia acumulada $\Delta t_{dif} =\Delta t_{movil} - \Delta t_{tierra}$ es sumando las contribuciones de cada efecto:
$$\Delta t_{diff} = \int_0^{t_{total}}\left({\frac{gh(t)}{c^2}-\frac{v(t)^2}{2c^2}}\right) dt$$
El primer término (positivo) representa la ganancia de tiempo debido a la altura (Relatividad General), y el segundo término (negativo) representa la pérdida de tiempo debido a la velocidad (Relatividad Especial).
Cálculos para el Ejemplo del Reloj a 1 Metro
Datos:
Altura máxima () = 1 m
Gravedad () = 10 m/s$^2$
Velocidad de la luz ()
1. Velocidad inicial ($v_0$) para alcanzar 1 m:
Usando la cinemática $(v_f^2=v_0^2−2gH_{max}$), donde $v_f=0$ en la altura máxima:
$$0 = v_0^2 -2(10m/s^2)(1m)$$
$$ v_0^2 =20 m^2/s^2 \to v_0 = \sqrt{20}m/s \approx 4.472 m/s$$
2. Tiempo total de vuelo ($T_{total}$):
El tiempo para subir es $t_{subida}=v_0/g=\sqrt{20}/10 \approx 0.4472 s$.
El tiempo total de vuelo (subida y bajada) es $T_{total} = 2t_{subida} = 2\sqrt{20}/10=\sqrt{20}/5 \simeq 0.8944 s$.
3. Posición y velocidad en función del tiempo:
$$h(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$$
$$v(t) = v_0 - gt$$
4. Integración de la diferencia de tiempo:
Para un objeto lanzado verticalmente y que regresa al punto de partida, la integral de la diferencia de tiempo se puede calcular exactamente:
$$\Delta t_{diff} = \int_0^{t_{total}}\left({\frac{gh(t)}{c^2}-\frac{v(t)^2}{2c^2}}\right) dt = \frac{v_0^3}{3gc^2}$$
Sustituyendo los valores:
$$\Delta t_{dif} = \frac{(\sqrt{20} \text{ m/s})^3}{3 \times (10 \text{ m/s}^2) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2}$$$$\Delta t_{dif} = \frac{20\sqrt{20}}{30 \times (9 \times 10^{16})} \text{ s} = \frac{2\sqrt{20}}{27 \times 10^{16}} \text{ s}$$Conclusión para el ejemplo: El reloj lanzado se adelanta por una cantidad extremadamente pequeña de aproximadamente segundos. Esto se debe a que, para una trayectoria balística que regresa al punto de partida, el efecto de la Relatividad General (estar a mayor altura) domina ligeramente sobre el efecto de la Relatividad Especial (moverse a cierta velocidad).
Generalización para Aceleración Inicial Arbitraria
Si el reloj es lanzado con una velocidad inicial arbitraria (y luego solo actúa la gravedad ), la fórmula para la diferencia de tiempo acumulada en un viaje de ida y vuelta al punto de partida sigue siendo:
$$\Delta t_{móvil} - \Delta t_{tierra} = \frac{v_0^3}{3gc^2}$$
Esta fórmula es válida bajo la aproximación de campo débil y velocidades no relativistas. El resultado es siempre positivo, lo que indica que el reloj lanzado siempre se adelanta en este escenario de ida y vuelta balística.
Casos Especiales e Interesantes
Aceleración Cero ($v_0=0$):
Si el reloj no se lanza (es decir, $v_0=0$), entonces $\Delta t_{diff}=0$. Ambos relojes permanecen perfectamente sincronizados, lo cual es intuitivo.
Velocidad de Escape ($v_e=\sqrt{2GM/R}$):
Si el reloj se lanza con la velocidad de escape de la Tierra, nunca regresa. En este caso, la comparación "real" de los dos relojes en el mismo punto del espacio-tiempo deja de ser posible. El reloj simplemente se aleja, y la diferencia de tiempo acumulada entre él y el reloj en la Tierra crecería indefinidamente. Para un observador situado exactamente entre los relojes (o en cualquier otro marco de referencia), la diferencia se calcularía integrando la dilatación del tiempo a lo largo de sus respectivas trayectorias en el espacio-tiempo.
Relojes en Órbita (como los satélites GPS):
Este es un caso de la vida real donde ambos efectos son cruciales. Un reloj en órbita (por ejemplo, un satélite GPS) está:
En movimiento: Su alta velocidad orbital (Relatividad Especial) lo hace retrasarse respecto a un reloj en tierra.
A mayor altitud: Su mayor distancia a la Tierra (Relatividad General) lo hace adelantarse respecto a un reloj en tierra.
Para los satélites GPS, la velocidad orbital es aproximadamente y la altitud es de unos . Los cálculos muestran que el efecto de la Relatividad General (adelanto) es significativamente mayor que el efecto de la Relatividad Especial (retraso).
La diferencia de tiempo neta para un reloj en órbita circular (aproximando g por $GM/R^2$ y $v_{orb}^2=GM/R$) es:
$$\Delta t_{órbita} -\Delta t_{tierra} = \left({\frac{GM}{Rc^2}-\frac{v_{orb}^2}{2c^2}}\right) \Delta t_{tierra}$$
Sustituyendo $v_{orb}^2=GM/R$:
$$\Delta t_{órbita} - \Delta t_{tierra} = \left({\frac{GM}{Rc^2}-\frac{GM}{2Rc^2}}\right) \Delta t_{tierra} = \frac{GM}{2Rc^2} \Delta t_{tierra} $$
Este resultado es positivo, lo que significa que los relojes de los satélites GPS se adelantan aproximadamente 38 microsegundos por día con respecto a los relojes en tierra. Sin esta corrección, los sistemas GPS acumularían errores de posicionamiento de kilómetros en cuestión de minutos.
Aceleración Constante en el Espacio Profundo:
Si una nave espacial acelera constantemente en el espacio profundo (lejos de campos gravitacionales), los relojes en la "parte delantera" de la nave (hacia donde apunta la aceleración) correrán más rápido que los relojes en la "parte trasera". Esto es una manifestación del Principio de Equivalencia de la Relatividad General, que establece que la aceleración es indistinguible de un campo gravitacional. Para una aceleración a y una distancia L a lo largo de la dirección de aceleración, la diferencia de tiempo entre los extremos es aproximadamente:
$$\Delta t_{adelante} - \Delta t_{detrás} \approx \frac{aL}{c^2}\Delta t_{local}$$
Esto implica que para viajes interestelares con aceleración constante, los tripulantes en la parte delantera envejecerían más rápido que los de la parte trasera, aunque la diferencia sería mínima para aceleraciones realistas.
El estudio de la dilatación del tiempo no es solo un ejercicio teórico, sino que tiene implicaciones prácticas cruciales para tecnologías como el GPS y para nuestra comprensión de la naturaleza fundamental del espacio y el tiempo.
Bibliografía Sugerida:
Einstein, A. Relativity: The Special and the General Theory. (Varias ediciones). Un clásico para entender los fundamentos.
Taylor, E. F., & Wheeler, J. A. Spacetime Physics. W. H. Freeman and Company (1992). Un libro de texto muy intuitivo y visual sobre la relatividad especial.
Carroll, S. M. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Pearson (2019). Un excelente libro de texto para la relatividad general, cubriendo las métricas y la dilatación gravitacional.
Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. Gravitation. W. H. Freeman and Company (1973). La "Biblia" de la relatividad general, con detalles exhaustivos.
Ashby, N. "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity, 6(1), 1 (2003). (Artículo de revisión detallado sobre cómo la relatividad afecta y es corregida en el GPS).
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