La red de transporte interplanetario

Fuente: La pizarra de Yuri

Desarrollada teóricamente a finales del siglo XIX y resuelta en los últimos años del XX,
la Red de Transporte Interplanetario resuelve el problema de viajar entre mundos
con un coste energético ridículamente bajo. Sólo es un poco más lenta.

Lanzamiento de la nave espacial interplanetaria New Horizons
con destino a Plutón-Caronte y el cinturón de Kuiper,
a bordo de un cohete Atlas V-Star 48B, el 19 de enero de 2006.
Llegará en junio de 2015, tras un viaje de cinco mil millones de kilómetros.
Los cohetes sólo actúan durante los primeros minutos;
el resto del viaje carece de propulsión autónoma. (NASA)

La nave New Horizons durante su ensamblaje final. Cuenta con dieciséis motores de 4,4 newtons para correcciones de trayectoria y doce de 0,9 newtons para el control de actitud, pero ningún impulsor principal, al igual que el resto de naves espaciales humanas del presente y del futuro próximo. Foto: NASA. (Nueva ventana o pestaña para ampliar)

A pesar de lo que se pudiera concluir tras ver muchas pelis de ciencia-ficción, las naves espaciales carecen generalmente de propulsión propia. Sólo llevan una pequeña cantidad de combustible y unos motorcitos minúsculos para realizar ocasionalmente maniobras de corrección de trayectoria, casi siempre con el propósito de mantener la posición. Así es tanto en los satélites como en las sondas de espacio profundo, así ha sido durante toda la Era Espacial, sigue siéndolo en la actualidad y seguirá siéndolo durante una buena temporada. No hacemos vuelo libre por el espacio, sino que describimos órbitas y realizamos triquiñuelas aprovechando los efectos de la gravedad y la velocidad, en una especie de billar cósmico.

En cierto sentido, una nave espacial se parece mucho más a un velero gravitacional que a un navío a motor. Esos enormes cohetes que vemos encenderse con poderosos rugidos y llamaradas sólo están para sacar la nave del pozo gravitatorio terrestre. Tragan combustible a mares y se agotan enseguida. Al poco del lanzamiento se van apagando y desprendiendo, normalmente por fases, y unos pocos minutos después se acaban todas y liberan la nave. En un lanzamiento sencillo a la órbita baja terrestre, esto está visto para sentencia en menos de diez minutos. Por ejemplo, la impulsión para una Soyuz con destino a la Estación Espacial Internacional termina a los nueve minutos; el resto del viaje se completa por la órbita, conservando la velocidad adquirida durante el lanzamiento sin propulsión significativa adicional.

Para ir más lejos, lo que requiere ir algo más rápido, se suele utilizar una última fase que se enciende de nuevo al llegar a un cierto punto de la órbita para darle un último empujón. Esto es lo que hace, por ejemplo, la etapa Fregat de las Soyuz o la S-IVB de los Saturno V que los estadounidenses usaron para llevar a la humanidad a la Luna. Pero incluso estas últimas aportaban una impulsión adicional de apenas seis minutos. Quien desea ir a Venus o Marte, pongamos por caso, lo hace de manera muy parecida; en este último enlace puede verse cómo un viaje a Marte sólo está propulsado seriamente al principio, durante unos catorce minutos y pico en total, de los siete meses que dura. A partir de ahí sólo actuarán los motores de maniobra, muy de tarde en tarde, para realizar pequeñas correcciones o forzar la inyección final en la órbita marciana.

Esto es posible porque en el espacio no se produce arrastre aerodinámico, dado que no hay aire. Una nave colocada en una órbita estable a una velocidad determinada tiende a mantener esta velocidad en virtud de la primera ley de Newton. Como decía al principio, después se pueden utilizar trucos para aumentar (o reducir) esta velocidad, del tipo de la asistencia gravitatoria. El vuelo espacial es un juego de trayectorias y velocidades. Sí, como en el billar.

Venera-7, la primera nave espacial humana que aterrizó con bien en otro mundo. Se posó cerca de Safo de Venus, al sur de la Planicie de Ginebra, siendo las 05:34:10 GMT del 15 de diciembre de 1970; acaba de hacer cuarenta años.

Vuelo interplanetario.

Para viajar entre astros hay que tener claros dos conceptos fundamentales: la velocidad de escape y la órbita de transferencia de Hohmann.  Dicho en plan sencillo, la velocidad de escape es lo rápido que hay que ir para escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra o cualquier otro astro. Más técnicamente, se define como la velocidad a la que la energía cinética de la nave contrarresta a la energía potencial gravitatoria resultante de la interacción entre la nave y el astro. La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que escapa: da igual si tu nave pesa un kilo o un millón de toneladas (en este último caso necesitarás más energía para acelerarla hasta ese punto, pero la velocidad de escape no varía). Por el contrario, es dependiente de la distancia entre la nave y el astro. Por ejemplo, si la nave estuviera situada sobre la superficie terrestre, la velocidad de escape sería de 11,2 km/s (40.320 km/h); sin embargo, en la órbita baja desciende a 10,9 km/s (39.240 km/h) y a nueve mil kilómetros de distancia, cae a algo menos de 7,1 km/s (25.560 km/h). De hecho la velocidad de escape depende sólo de la distancia entre ambos objetos y la intensidad del campo gravitatorio en ese punto, y se describe con la ecuación ve = (2gr)½, donde g es el campo gravitatorio y r la distancia que separa sus centros de masas. La velocidad de escape es un fenómeno que se deriva del principio de la conservación de la energía.

Hablar de velocidad de escape a pelo no tiene demasiado sentido. Hablamos siempre de velocidad de escape desde algún sitio con respecto a algo: la Tierra, el Sol, la Luna, Saturno, el centro de la galaxia, lo que sea. Por ejemplo: ya hemos dicho que la velocidad de escape desde la órbita baja terrestre con respecto a la Tierra son 10,9 km/s. Pero la velocidad de escape desde este mismo lugar con respecto al Sol asciende a 42,1 km/s (151.560 km/h). Esto quiere decir que una nave situada más o menos por donde la Estación Espacial Internacional necesita ir a algo menos de cuarenta mil kilómetros por hora para escapar de la gravedad terrestre, pero tendría que viajar a más de ciento cincuenta mil para zafarse de la del Sol desde el mismo punto, por ejemplo con el propósito de efectuar un viaje interestelar. Evidentemente, los científicos e ingenieros espaciales tratan de jugar con las distancias y velocidades para conseguir el máximo ahorro de energía, de tal modo que estos viajes sean posibles con los motores y las cantidades de combustible que somos capaces de manejar.

Cuando una nave espacial alcanza la velocidad de escape entra en órbita de escape, que es una trayectoria parabólica de mínima energía (o sea, una órbita de Kepler con excentricidad 1) que la lleva hacia el infinito mientras la velocidad con respecto al objeto del que ha escapado tiende a cero. Y yendo un poco más deprisa, se puede pasar también a una trayectoria hiperbólica (es decir, una órbita de Kepler con excentricidad mayor que 1). Así se puede viajar hacia cualquier lugar del cosmos sin necesidad de llevar propulsión todo el tiempo.

Sin embargo, se intuye fácilmente que hace falta mucha energía para alcanzar estas velocidades. En torno a 1925 un ingeniero alemán llamado Walter Hohmann, inspirado por la lectura de obras de ciencia ficción, intentó encontrar una manera de reducirlas. También por las mismas fechas, un matemático soviético de nombre Vladimir P. Vetchinkin estuvo estudiando la cuestión. Resulta difícil determinar cuál dio con la solución primero, pero ambos alcanzaron las mismas conclusiones, que en Occidente se denominan las órbitas de Hohmann y en el espacio ex-soviético, de Hohmann-Vetchinkin.

Una órbita de Hohmann (o Hohmann-Vetchinkin) no es una órbita típica de escape, parabólica o hiperbólica, sino un tipo particular de órbita elíptica. Una órbita elíptica es una órbita de Kepler con excentricidad menor que 1, hasta la órbita circular, con excentricidad cero (aunque normalmente esta última se denomina órbita circular a secas). Simplificando, es cualquier órbita que no escapa de un astro determinado (aunque puede alejarse bastante de él). En consecuencia, la velocidad (y por tanto la energía) necesaria para establecerse en ella resulta significativamente menor. Hay varios tipos posibles de órbitas elípticas, algunos de ellos muy prácticos, desde la conocida Molniya hasta la más rara órbita tundra.

Órbita de transferencia Hohmann-Vetchinkin (2) entre una órbita baja (1) y otra geoestacionaria (3).

Una órbita de transferencia Hohmann (o Hohmann-Vetchinkin :-D ) es una órbita elíptica parcial que sirve para saltar entre dos órbitas circulares situadas a distinta distancia. Por ejemplo, en la imagen de la izquierda la vemos utilizada para conmutar entre una órbita baja (1) y una órbita geoestacionaria (3) en ambos casos con la Tierra en el centro; es el tramo amarillo (2). Para realizar esta maniobra, sólo necesitamos dos impulsos, uno a la entrada y otro a la salida. La gracia radica en que estos dos impulsos consumen bastante menos energía que la necesaria para alcanzar la velocidad de escape (y no digamos si encima hay que abandonarla en destino). La desgracia, que resulta en un recorrido más largo que la trayectoria parabólica y mucho más largo que la hiperbólica.

Pero en la mayoría de casos, resulta la manera energéticamente más económica de viajar entre dos órbitas circulares que no tienen por qué pertenecer al mismo astro (si bien la mecánica específica se complica un poco más en este último caso). Es decir: podemos salir de una órbita circular alrededor de la Tierra y acabar en una órbita circular alrededor de Venus o Marte o el Sol o cualquier otro lugar con menos coste energético que tratando de alcanzar la velocidad de escape. Dicho de otra manera, es la forma más eficiente de trasladar una nave espacial entre dos órbitas distintas. Bajo determinadas circunstancias, la transferencia bi-elíptica puede optimizar aún más el coste energético.

Y es que en las naves espaciales del presente (y del futuro próximo) el problema fundamental es el coste energético. Cuanta más energía necesite una nave espacial para completar su viaje, requerirá más combustible y más motores, es decir más masa y volumen. O sea que tendrá que ser una nave más grande, más difícil de construir y con un coste económico mucho mayor. A partir de cierto punto, el proyecto se tornará irrealizable. Por eso el balance energético de una misión espacial es tan importante. Cualquier cosa que lo mejore no sólo reduce el dinero a gastar, sino que abre puertas al futuro que de otra manera no serían posibles en la práctica.

Plan de vuelo Tierra-Venus para la nave interplanetaria soviética Venera-5, utilizando una órbita de transferencia Hohmann-Vetchinkin de tipo I durante la ventana de enero de 1969.

Los puntos de Lagrange.

Estatua a Joseph-Louis de Lagrange (Giuseppe Luigi Lagrangia) en Turín.

Y ahora vamos a hacer un inciso, que resulta imprescindible para poder continuar. Érase una vez que se era un matemático ítalofrancés llamado Joseph-Louis de Lagrange, que trabajaba en el problema newtoniano de los tres cuerpos; como puede suponerse fácilmente, una extensión del problema de los dos cuerpos. :-D Dicho a lo fácil, esto del problema de los tres (o más) cuerpos estudia cómo se influyen mutuamente tres (o más) cuerpos que interaccionan gravitacionalmente entre sí. Por ejemplo, el sistema Sol-Tierra-Luna. O el Tierra-Venus-nave espacial, por decir otro.

Ciento ochenta y siete años antes del primer viaje a la Luna, este señor Lagrange dedujo matemáticamente una cosita interesante. Como la Wikipedia lo explica bastante bien, vamos a citarla:

En 1772, el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange estaba trabajando en el célebre Problema de los tres cuerpos cuando descubrió una interesante peculiaridad. Originalmente, trataba de descubrir una manera de calcular fácilmente la interacción gravitatoria de un número arbitrario de cuerpos en un sistema. La mecánica newtoniana determina que un sistema así gira caóticamente hasta que; o bien se produce una colisión, o alguno de los cuerpos es expulsado del sistema y se logra el equilibrio mecánico. Es muy fácil de resolver el caso de dos cuerpos que orbitan alrededor del centro común de gravedad. Sin embargo, si se introduce un tercer cuerpo, o más, los cálculos matemáticos son muy complicados. Una situación en la que se tendría que calcular la suma de todas las interacciones gravitatorias sobre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.

Sin embargo, Lagrange quería hacer esto más sencillo, y lo logró mediante una simple hipótesis: La trayectoria de un objeto se determina encontrando un camino que minimice la acción con el tiempo. Esto se calcula substrayendo la energía potencial de la energía cinética. Siguiendo esta manera de pensar, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton para dar lugar a la mecánica lagrangiana. Con su nueva forma de calcular, el trabajo de Lagrange le llevó a plantear la hipótesis de un tercer cuerpo de masa despreciable en órbita alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estuvieran girando a su vez en órbita cuasi circular. En un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores, encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos fueron llamados puntos de Lagrange en su honor.

–es.wikipedia, “Puntos de Lagrange“, redacción del 22/12/2010.

Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas común. El "problema de los dos cuerpos" que se pregunta por su comportamiento tiene solución relativamente sencilla mediante las integrales de movimiento; pero el "problema de los tres (o más) cuerpos", que surge al añadir otros, carece de una solución general y sólo se puede resolver para casos particulares. Estudiando esta cuestión, Lagrange dedujo sus puntos de Lagrange.

Los puntos de Lagrange para el sistema Sol-Tierra. Una nave espacial establecida en esas posiciones puede mantenerse en las mismas únicamente con energía de maniobra.

El primer punto de Lagrange, L1, es intuitivo y se da incluso aunque todos los cuerpos estén estáticos: en la línea imaginaria entre dos objetos con masa y por tanto gravedad, existe un lugar donde la atracción gravitatoria de uno cancela a la del otro. Un objeto de masa comparativamente despreciable situado justo en esa posición flotará entre ambos de forma indeterminada sin necesidad de ningún aporte de energía. En un sistema rotativo real como el Tierra-Luna, L1 está un poco desplazado y es levemente inestable, lo que se puede compensar con pequeñas maniobras.

L2 se encuentra en la misma línea que une a los dos objetos mayores, pero más allá de la menor. En este punto, la atracción gravitatoria de las dos masas principales entra en equilibrio con el efecto centrífugo de la masa menor que gira alrededor. L3 hace lo propio “al otro lado”, más allá de la masa mayor. Por su parte, L4 y L5 se encuentran en los vértices de los triángulos equiláteros con base común en la línea que une ambas masas mayores; es decir, que giran 60º delante y detrás del cuerpo con masa menor, según se ve desde la masa mayor. Podemos verlos en la imagen de la izquierda.

La gracia de los puntos de Lagrange es que una nave espacial establecida en los mismos puede mantenerse ahí indefinidamente con energía teórica cero, y en la práctica tan solo con un poco de energía de maniobra para L1, L2 y L3 y ninguna para L4 y L5. Estos puntos de estacionamiento, excelentes candidatos a convertirse en terreno para construir las casas de postas cósmicas, constituyen una especie de órbitas Lagrange-estacionarias –por analogía a las geoestacionarias– que están disponibles entre dos pares de astros cualesquiera.

Mapa de potencial en los puntos de Lagrange y órbitas posibles en torno a L1 y L2. Imagen: R. A. Tacchi en Interplanetary Transport Network, Universidad de California en Davis.

De hecho, por su estabilidad gravitacional, en los puntos de Lagrange cuarto y quinto tienden a acumularse ciertas cantidades de materia. Los asteroides troyanos se concentran alrededor de los puntos L4 y L5, y muy notablemente en los del sistema Sol-Júpiter (¿alguien ha dicho “estación minera”?). El sistema Tetis – Saturno presenta a su vez dos pequeñas lunas, Telesto y Calipso, en L4 y L5.; lo mismo ocurre con Helena y Pollux en los de Dione – Saturno. Marte presenta cuatro asteroides en L4 y L5 de Sol – Marte. En torno a los de Sol – Tierra podrían encontrarse las nubes de polvo de Kordylewsky. El planetoide compañero de la Tierra, 3753 Cruithne, intercambia energía con la misma a través de los lagrangianos Sol – Tierra; lo mismo sucede entre Epimeteo y Jano (Saturno), de manera mucho más notable.

Se sugiere que los puntos L1 y L2 de cualquier astro serían el lugar idóneo para instalar un ascensor espacial (específicamente los llamados ascensores espaciales lunares). La Sociedad L5, ahora parte de la National Space Society, viene proponiendo directamente la colonización de los puntos de Lagrange desde 1975. La Administración Obama acaricia la idea para el proyecto de enviar una misión tripulada a Marte. Tímidamente, la especie humana ya ha empezado a ocupar los lagrangianos L1 y L2 de Sol-Tierra con algunas naves científicas. Una característica peculiar de los puntos de Lagrange es que un objeto (incluída una nave espacial) puede orbitar a su alrededor exactamente igual que en torno a un astro, a pesar de que en ellos no haya ningún cuerpo con masa.

¿Y todo esto a qué viene? Pues viene a que aprovechando la interacción gravitatoria entre los distintos astros, y circulando a través de los puntos de Lagrange, se configura una especie de red de metro interplanetaria de mínima energía que nos permite viajar entre los distintos planetas y lunas con un coste energético mucho menor que en las órbitas de transferencia de Hohmann-Vetchinkin. De hecho, con un coste energético próximo a cero. Este metro, con sus estaciones en los puntos de Lagrange de los diversos pares de astros, se conoce como la red de transporte interplanetario.
El metro interplanetario. 

Esquema conceptual de la red de transporte interplanetario. NASA

La red de transporte interplanetario (ITN, por sus siglas en inglés) es un conjunto de rutas cósmicas que requieren muy poca y a menudo ninguna propulsión para que una nave espacial las recorra. Teóricamente, la energía de impulsión necesaria una vez iniciado el viaje podría ser cero; en la práctica, estaría muy próxima a cero. Esto fue demostrado por el ICE internacional en 1978 y la sonda lunar japonesa Hiten en 1991; después, ha sido utilizado por otras naves espaciales como la Génesis norteamericana (2001) o la SMART-1 de la Agencia Espacial Europea (2003).

Trayectoria descrita en la realidad por la nave espacial Génesis, utilizando el concepto de red de transporte interplanetario (2001-2004). Imagen: NASA.

Una trayectoria ITN de entrada al sistema solar interior con coste energético mínimo, vía los lagrangianos L1 y L2 del sistema Sol-Júpiter. Imagen: R. A. Tacchi en Interplanetary Transport Network, Universidad de California en Davis

Toda la propulsión necesaria para la realización de un viaje así se aplica durante el lanzamiento, con el propósito de alejar la nave del planeta Tierra y colocarla en un rumbo determinado a una velocidad precisa. A partir de ese punto, todo sucede solo, sin necesidad de aportar ninguna otra energía de impulsión más que para las posibles correcciones. Eso sí, el rumbo y la velocidad han de ser exactas de narices, pero esto es algo que ya cae actualmente dentro de las posibilidades tecnológicas humanas. De esta manera, toda la energía necesaria para el viaje se obtiene mediante la interacción gravitatoria con los distintos astros a través de sus puntos de Lagrange. Aplicando esta técnica no se requieren grandes motores ni grandes cargas de combustible (una vez ya estás en el espacio), sino sólo lo imprescindible para maniobrar en caso necesario.

La posibilidad de este metro interplanetario de consumo casi-cero ya fue teorizada por el matemático Henri Poincaré a finales del siglo XIX, pero no se pudo demostrar en la práctica hasta los vuelos de la ICE en 1978 y la Hiten en 1991. A partir de ahí se realizó un importantísimo trabajo de matemática aplicada, conocido en todo el mundo menos aquí (como siempre), por Gerard Gómez de la Universitat de Barcelona y Josep Masdemont de la Universitat Politècnica de Catalunya; sobre esta base, Martin Lo de la Universidad Purdue desarrolló una herramienta computacional llamada LTool, que permite calcular estas trayectorias y viene siendo utilizada desde entonces por el Jet Propulsion Laboratory y otras instituciones astronáuticas para crear el trazado de la red.

El principal problema con estas trayectorias es que son típicamente más largas que las órbitas de escape y las órbitas de transferencia de Hohmann-Vetchinkin, y además el paso por los puntos de Lagrange puede llegar a ser exasperantemente lento si queremos mantenernos en el coste energético mínimo. Por otra parte, las ventanas de lanzamiento óptimas pueden llegar a hallarse muy separadas entre sí. Esto tiene soluciones mixtas posibles, que con poco aporte de energía adicional pueden mejorar bastante algunos de los peores cuellos de botella, pero aún así la red de transporte interplanetario sólo resulta verdaderamente interesante cuando el tiempo de viaje es secundario. Por ello, en la actualidad sólo se plantea para sondas automáticas, no para vuelos tripulados. Pero esto podría cambiar en cualquier momento, y de hecho ya hay varias propuestas que utilizarían la ITN para misiones tripuladas.

La "cola" de la galaxia Renacuajo son los restos de uno de estos túneles de baja energía que quedó establecido en el pasado, cuando otra galaxia pasó cerca, por donde se deslizaron las estrellas de una a otra.

La comprensión cada vez mejor del problema de los tres cuerpos y de las dinámicas asociadas a los puntos de Lagrange no sólo son de interés en la exploración espacial. Esta idea de los pasadizos de baja energía tiene otras aplicaciones. Por ejemplo: en el año 2000 Charles Jaffé, un químico de la Universidad de Virginia Occidental, observó que bajo determinadas condiciones experimentales las rutas que toman los electrones de valencia en átomos de Rydberg son muy parecidas a la trayectoria de la sonda Génesis. Y cuando estos átomos se someten a campos eléctricos y magnéticos perpendiculares, también realizan estos recorridos tubulares. Esto ha sentado las bases para el desarrollo futuro de nuevas teorías y aplicaciones en química y tecnologías de materiales, pues las matemáticas subyacentes son válidas a todas las escalas, desde los átomos a las distancias intergalácticas.

Hablando de galaxias, científicos de las universidades de Tokio y Edimburgo han mostrado que unos tubos relacionados con los puntos de Lagrange conducen a la “evaporación” de pequeños cúmulos estelares en órbita alrededor de algunas galaxias. Este efecto es mucho más notable cuando interaccionan dos de ellas: la galaxia Renacuajo manifiesta evidencias de un episodio muy violento en su pasado, un raspón como si dijéramos. La enorme cola que se extiende tras el renacuajo señala el lugar donde miles de estrellas entraron en tubos conectados con otra galaxia que pasó cerca. La cola del renacuajo es, pues, un puente hacia la nada de 280.000 años-luz. Otras galaxias presentan túneles de interconexión similares.

Aúnque aún no se han elaborado los mapas, cabe esperar que existan trayectorias parecidas conectando las estrellas entre sí; por ejemplo, al Sol con las estrellas cercanas. Esto constituiría una red de transporte interestelar donde una nave del tipo de las Voyager podría viajar directamente a Alfa Centauri, por decir algo, sin coste de propulsión adicional alguno. Le costaría miles de años hacerlo, pero aquí asoma un asunto interesante: en el pasado, hubo estrellas que estaban mucho más cerca del Sol (y en el futuro volverá a haberlas). Es posible que nos intercambiáramos material con ellas a través de estos canales. Qué material exactamente queda por el momento a la imaginación de cada cual.

Hace apenas cuarenta años y una semana, Venera 7 se posaba con bien en Venus tras utilizar una primitiva órbita de transferencia Hohmann-Vetchinkin con un coste energético de 3,8 megajulios por kilo. Fue una hazaña extraordinaria, ejecutada con tecnologías primitivas y a lo bruto porque en ese momento no se podía hacer de ninguna otra manera. Ahora sabemos que es posible llegar a la mayor parte de sitios interesantes en el sistema solar, y quizás en torno a otras estrellas y galaxias, con una milésima parte de esa energía. Si no lo estamos haciendo ya más y mejor, no es porque no sepamos, sino por simple ceguera y mezquindad. Ah, sí, por cierto. En salvar a los bancos, europeos y norteamericanos hemos comprometido dinero suficiente (unos trece billones de dólares sólo en los EEUU) para hacer unas mil misiones tripuladas a Marte y mantener el CERN durante más de diez mil años: las dos cosas a la vez y pagadas a tocateja con un solo cheque. Menos mal que no había pasta, ¿eh?

Para más información:

• Ross, Shane D (2006), The interplanetary transport network, en American Scientist, vol. 94, págs. 230-237.
• Conley, C. C. (1968), Low energy transit orbits in the restricted three-body problem. En SIAM Journal on Applied Mathematics 16:732–746.
• Fukushige, T., y D. C. Heggie (2000), The time-scale of escape from star clusters. En Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 318:753–761.
• Jaffé, C., S. Ross, M. Lo, J. Marsden, D. Farrelly y T. Uzer (2002), Statistical theory of asteroid escape rates. En Physical Review Letters 89:011101.
• Marsden, J. E., y S. D. Ross. (2006), New methods in celestial mechanics and mission design, en Bulletin of the American Mathematical Society 43:43–73.
• Smith, D. L. (2002), Next exit 0.5 million kilometers, en Engineering & Science LXV(4):6–15.