Artículo publicado por Philip Ball el 10 de septiembre de 2012 en Nature News
De ser cierta, la solución a la conjetura abc sobre todos los números sería un logro ‘asombroso’.
El habitualmente tranquilo mundo de las
matemáticas es un hervidero desde la afirmación sobre la resolución de
uno de los problemas más importantes de la teoría de números.
El matemático Shinichi Mochizuki de la
Universidad de Kioto en Japón ha publicado una demostración de 500
páginas sobre la conjetura abc, que propone una relación entre todos los números – un problema ‘diofántico’.
Matemáticas © by tim geers
La conjetura abc, propuesta independientemente por David Masser y Joseph Oesterle en 1985, podría no ser tan conocida como el mundialmente famoso último teorema de Fermat, pero en cierto modo es más significativo. “La conjetura abc, en caso de demostrarse, resuelve de un solo golpe muchos famosos problemas diofánticos, incluyendo el último teorema de Fermat”, dice Dorian Goldfeld, matemático en la Universidad de Columbia en New York. “Si la demostración de Mochizuki es correcta, será uno de los logros más asombrosos de las matemáticas del siglo XXI”.
Al igual que el último teorema de Fermat, la conjetura abc se refiere a las ecuaciones con forma a+b=c.
Implica el concepto de un número libre de cuadrados: uno que no puede
dividirse por el cuadrado de ningún número. 15 y 17 son números libres
de cuadrados, pero 16 y 18 – al ser divisibles por 42 y 32, respectivamente, no.
La parte ‘libre de cuadrados’ de un número n, sqp(n), es el mayor número libre de cuadrados que puede formarse mediante la multiplicación de factores de n que son números primos. Por ejemplo, sqp(18)=2×3=6.
Si has captado esto, entonces ya deberías tener una idea de la conjetura abc. Trata de la propiedad del producto de tres enteros axbxc, o abc —
o más específicamente, de la parte libre de cuadrados de este producto,
que implica sus factores primos distintos. Afirma que para los enteros a+b=c, la proporción de sqp(abc)r/c siempre tiene un valor mínimo mayor que cero para cualquier valor de r mayor que 1. Por ejemplo, si a=3 y b=125, de forma que c=128, entonces sqp(abc)=30 y sqp(abc)2/c = 900/128. En este caso, en el que r=2, sqp(abc)r/c casi siempre es mayor que 1, y siempre mayor que cero.
Una profunda conexión
Resulta que esta conjetura encapsula a
muchos otros problemas diofánticos, incluyendo el último teorema de
Fermat (que afirma que an+bn=cn no tiene soluciones enteras su n>2).
Como muchos problemas diofánticos, todo trata de las relaciones entre
número primos. De acuerdo con Brian Conrad de la Universidad de Stanford
en California, “codifica una profunda conexión entre los factores
primos de a, b y a+b”.
Muchos matemáticos han trabajado
duramente intentando demostrar la conjetura. En 2007, el matemático
francés Lucien Szpiro, cuyo trabajo en 1978 llevó a la conjetura abc por primera vez, afirmó tener una demostración de la misma, pero no tardaron en hallarse errores.
Como Szpiro, y también el matemático
británico Andrew Wiles, que demostró el último teorema de Fermat en
1994, Mochizuki ha abordado este problema usando la teoría de las curvas
elípticas — las suaves curvas generadas por las relaciones algebraicas
del tipo y2=x3+ax+b.
Sin embargo, ahí acaba la relación del
trabajo de Mochizuki con anteriores trabajos. Ha desarrollado técnicas
que muy pocos matemáticos comprenden e invoca a dichos ‘objetos’
matemáticos – entidades abstractas análogas a ejemplos más familiares
como los objetos geométricos, conjuntos, topologías y matrices. “En este
punto, probablemente es el único que lo conoce por completo”, dice
Goldfeld.
Conrad dice que el trabajo “usa un
número tan enorme de profundas percepciones que va a llevar un largo
tiempo poder ser digerido por la comunidad”. La demostración se extiende
a lo largo de cuatro artículos1-4, cada uno de los cuales
depende de artículos anteriores. “Puede requerir una ingente inversión
de tiempo llegar a comprender una larga y sofisticada demostración, por
lo que la predisposición de otros a hacer esto recae no solo en la
importancia del anuncio, sino también en los antecedentes de los
autores”, explica Conrad.
Los antecedentes de Mochizuki
ciertamente hacen que el esfuerzo merezca la pena. “Ha demostrado en el
pasado teoremas de una gran profundidad, y es muy concienzudo en su
escritura, por lo que nos da una gran confianza”, dice Conrad. Y añade
que la recompensa sería algo más que simplemente la verificación de
dicha afirmación. “El aspecto apasionante no es solo que la conjetura
pueda haberse resuelto, sino que las técnicas e intuiciones que debe
haber introducido serán unas herramientas muy potentes para resolver
futuros problemas de la teoría de números”.
Nature doi:10.1038/nature.2012.11378
Referencias:
1.- Mochizuki, S. Inter-universal teichmuller theory I: construction of Hodge Theatres (2012). Disponible en http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
2.- Mochizuki, S. Inter-universal teichmüller theory II: Hodge–Arajekekiv-theoretic evalulation (2012). Disponible en http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf
3.- Mochizuki, S. Interuniversal teichmüller theory III: canonical splittings of the log-theta-lattice (2012). Disponible en http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf
4.- Mochizuki, S. Interuniversal teichmüller theory IV: log-volume computations and set-theoretic foundations (2012). Disponible en http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
Autor: Philip Ball
Fecha Original: 10 de septiembre de 2012
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