lunes, 16 de abril de 2012

Pi no siempre vale 3,14159…

Fuente: Gaussianos

Si buscamos en el diccionario de la RAE la definición matemática de π (Pi), obtenemos lo siguiente (segunda acepción):
2. f. Mat. Símbolo de la razón de la circunferencia a la del diámetro (aquí).
¿Es esta definición correcta? Sí…pero no. En realidad es incompleta, falta información. bueno, más bien presupone cierta información.
Antes de explicar esto, veamos qué pone nuestra amiga la Wikipedia:
π (Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclídea (aquí).
Ah, amigo, en geometría euclídea…¿Es necesario dar ese dato?

Pongamos otro ejemplo. ¿Cuánto es 1+1? Seguro que si nos hacen esta pregunta todos diríamos 2, porque presuponemos que nos están preguntando por la suma habitual dentro del conjunto de los números reales. Pero esa suma podría hacerse en el conjunto de los números binarios, y en ese caso el resultado sería 10, o dentro de los enteros módulo 2, en cuyo caso la suma daría 0.
Pues con \pi ocurre lo mismo. El valor que conocemos para \pi está calculado de la forma anteriormente descrita, longitud de una circunferencia dividida entre el diámetro de la misma, dentro de la geometría euclídea. ¿Cómo es esta relación en otras geometrías?

De la geometría euclídea a las no euclídeas

En este post sobre el quinto postulado ya hablamos sobre la geometría euclídea, pero no está mal recordar en qué se basa. Euclides estableció en su obra Elementos (compendio de los conocimientos geométricos de la época) estos cinco postulados:

  1. Por dos puntos distintos sólo se puede trazar una línea recta.
  2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
  3. Con un centro y un radio sólo se puede trazar una circunferencia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si dos rectas intersecan con una tercera de forma que la suma de sus ángulos interiores a un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas individualmente se cortan en el mismo lado si se alargan suficientemente.
Una forma alternativa para este quinto postulado es:
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a la recta dada.
También en el post sobre el quinto postulado comentamos algo sobre los intentos de demostración de ese postulado a partir de los demás, y del cambio de enfoque del asunto provocado por los continuos fracasos de dichas demostraciones.
Ese cambio de enfoque consistió, como muchos sabréis, en considerar la negación de este quinto postulado, que resulta dar dos posibilidades:
  • Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a la recta dada (geometría elíptica).
  • Por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a la recta dada (geometría hiperbólica).
El caso particular más característico de geometría elíptica es la geometría sobre la esfera (esférica), donde las “rectas”, que se denominan geodésicas, son las circunferencias sobre la esfera que tenga el mismo radio que la propia esfera
Veamos cuánto valdría \pi (es decir, el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro) en este caso.
Tomamos una circunferencia C de diámetro 2r situada sobre la esfera de radio R (con r < R). Sean \alpha el centro de la circunferencia visto en la geometría esférica, \beta el centro de la esfera, \gamma un punto de la circunferencia, \delta el centro de la circunferencia visto en la geometría euclídea, \rho el radio de la circunferencia visto en el espacio euclídeo y \theta el ángulo \angle \alpha \beta \gamma, como se puede ver en la figura de la derecha.
En este caso se tiene que:
r=R \theta, \; sen(\theta)=\cfrac{\rho}{R} y 2 \rho \pi=C
siendo C la longitud de la circunferencia. Por tanto:
\rho=R \; sen(\theta) \rightarrow C=2 \pi R \; sen (\theta )=2 \pi \cfrac{r}{\theta} \; sen(\theta)
Si ahora denotamos como \Pi al cociente entre la longitud de la circunferencia sobre su diámetro (que es 2r) obtendremos la siguiente expresión dependiente de \theta:
\Pi (\theta)=\cfrac{C(\theta)}{2r}=\pi \; \cfrac{sen (\theta)}{\theta}
Es decir:
El valor de \Pi en una esfera depende del ángulo \theta formado por el centro de la circunferencia (visto en la esfera), el centro de la esfera y un punto de la circunferencia.
Vamos a ver un caso concreto: el ecuador de la esfera. Para esta circunferencia de la esfera se tiene que \theta=\textstyle{\frac{\pi}{2}}, por lo que
\Pi (\pi/2)=\pi \; \cfrac{sen (\pi/2)}{\pi/2}=2
Es decir, para el ecuador se tiene que \Pi=2. ¿Cuadra esto con la realidad? Veamos:
El diámetro del ecuador visto en la esfera sería la curva que sale de un punto del ecuador y llega, por la superficie de la esfera, al punto diametralmente opuesto (según la geometría euclídea) pasando por el polo norte (o el polo sur).
Como el ecuador divide a la esfera en dos partes iguales, esta curva es una semicircunferencia, que resulta ser exactamente igual a medio ecuador. Esto significa que la longitud de la circunferencia del ecuador es el doble que la de su diámetro. Por tanto el cociente, que es \Pi, vale 2.
Vamos, que cuadra a la perfección.
En la imagen siguiente podéis ver la gráfica de la misma, que por tanto representa todos los valores de \Pi sobre la esfera:
Como curiosidad, podemos obtener el valor máximo y el mínimo de esta función mediante las herramientas habituales de cálculo en una variable. Derivamos dicha función:
\pi^\prime (\theta)=\pi \, \cfrac{cos(\theta) \cdot \theta - sen(\theta)}{\theta ^2}
Igualando a cero nos queda la ecuación tg(\theta)=\theta, y resolviéndola obtenemos un máximo en \theta=0, que nos da \Pi=\pi y un mínimo en \theta=4,493409, que nos da el valor \Pi=-0,6824595 (¡¡un valor negativo de \Pi!!). De esta manera, podemos concluir que \Pi, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría esférica, cumple lo siguiente:
-0,6824595 < \Pi < \pi
De manera similar podemos encontrar una función que me dé los valores de \Pi en geometría hiperbólica (en un paraboloide hiperbólico). En este caso llegaríamos a la siguiente expresión:
\Pi (\theta)=\pi \; \cfrac{senh(\theta)}{\theta}
Echando un vistazo a la gráfica de esta función, que como hemos comentado representa los valores posibles de \Pi en un paraboloide hiperbólico (imagen de la derecha), vemos que estos valores varían desde \pi hasta \infty, por lo que en este caso \Pi, la razón entre la longitud de una circunferencia en un paraboloide hiperbólico y su diámetro, vale al menos \pi, pero no tiene valor máximo (esto es, ¡¡\Pi puede tomar cualquier valor real positivo!!).
¿Qué podemos sacar con conclusión de todo esto? Pues que es muy importante especificar en qué geometría estamos realzando nuestras afirmaciones, no vaya a ser que Pi sea negativo o que tienda a infinito…
Como ejercicio para la gente interesada, se puede estudiar qué ocurriría en las métricas del taxi y en la del máximo. Los resultados también son sorprendentes.
Este artículo está escrito a partir de una colaboración de @juanripu. Muchas gracias Juanmi.
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