El Agujero Negro "Invisible": Cuando su Radiación se Funde con el Ecos del Big Bang

Sabemos que los agujeros negros no son "agujeros" en el sentido de un vacío, sino regiones del espacio-tiempo donde la gravedad es tan intensa que nada, ni siquiera la luz, puede escapar de su horizonte de sucesos. Sin embargo, la mecánica cuántica nos enseña que estos objetos no son completamente negros. Como predijo Stephen Hawking, los agujeros negros emiten una débil radiación térmica, conocida como radiación de Hawking, debido a efectos cuánticos cerca de su horizonte de sucesos.

La temperatura de esta radiación de Hawking es inversamente proporcional a la masa del agujero negro. Esto significa que cuanto más masivo es un agujero negro, más frío está y menos radia. Por el contrario, los agujeros negros más pequeños son mucho más calientes y emiten más energía, evaporándose gradualmente.

La temperatura de Hawking ($T_H$) de un agujero negro se da por la fórmula:

$${}^{\$T\_H\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar\; c^3\}\{8\; \backslash pi\; Gk\_B\; M\}\$}$$

Donde:

• $\hbar$ es la constante de Planck reducida ($1.054 \times 10^{-34} J \cdot s$)
• $c$ es la velocidad de la luz en el vacío ($3 \times 10^8 m/s$)
• $G$ es la constante gravitacional de Newton ($6.674 times 10^{-11} N \cdot m^2 /kg^2$)
• $k_B$​ es la constante de Boltzmann ($1.381 \times 10^{-23} J/K$)
• $M$ es la masa del agujero negro

Por otro lado, el Fondo de Radiación Cósmico de Microondas (CMB) es la "luz" remanente del Big Bang, una especie de eco térmico que permea todo el universo. Esta radiación tiene un espectro de cuerpo negro casi perfecto a una temperatura de aproximadamente $\$T\_\{CBM\}\; =\; 2.725\; K\$$.

El Punto de Equilibrio Térmico

La pregunta es: ¿qué tamaño (o masa) tendría un agujero negro para que su radiación de Hawking fuese equivalente a la del fondo de radiación cósmico? Esto significa que queremos encontrar la masa $M$ para la cual $T_H = T_{CMB}$​.

Igualamos las dos temperaturas:​

$T_{CMB} = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G k_B M}$ 

Y despejamos la masa $M$:​

$M = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G k_B T_{CMB}}$ 

Ahora, sustituimos los valores de las constantes y la temperatura del CMB:

$M = \frac{(1.054 \times 10^{-34} J \cdot s)\times(3 \times 10^8 m/s)^3}{8 \times \pi \times (6.674 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2) \times (1.381 \times 10^{-23} J/K) \times (2.725 K)}$ 

Calculando esto, obtenemos un valor para $M$:

$\text{\$M simeq 4.5 times 10^{22} kg\$ }$

Para poner esta masa en perspectiva:

• La masa de la Tierra es aproximadamente $5.97 \times 10^{24} kg$.
• La masa de la Luna es aproximadamente $\$7.35\; \backslash times\; 10^\{22\}\; kg\$$.

Esto significa que un agujero negro cuya radiación de Hawking es equivalente a la del fondo cósmico de microondas tendría una masa de aproximadamente media Luna (aproximadamente 0.61 veces la masa de la Luna).

El Radio de Schwarzschild

Una vez que tenemos la masa, podemos calcular el tamaño de este agujero negro, que es su radio de Schwarzschild ($R_S$), el radio del horizonte de sucesos:

$$\$R\_S\; =\; \backslash frac\{2GM\}\{c^2\}\$$$

Sustituyendo el valor de $M$:

$\text{\$R\_S = frac{2 times (6.674 times 10^{-11} N cdot m^2/kg^2) times (4.5 times 10^{22} kg)}{(3 times 10^8 m/s)^2}\$}$

$\text{\$R\_S simeq 6.67 times 10^{-5} m\$ }$

Esto es aproximadamente 67 micrómetros (µm), o 0.067 milímetros. Es decir, ¡un agujero negro de este tamaño sería comparable al grosor de un cabello humano o a un grano de arena fina!

Implicaciones Asombrosas

Este resultado es fascinante por varias razones:

1. Agujeros Negros Primordiales: Un agujero negro de este tamaño no podría haberse formado a partir del colapso de una estrella (ya que requeriría una masa estelar mucho mayor). Si existen, tendrían que ser agujeros negros primordiales (PBHs), formados en las condiciones extremas del universo muy temprano, poco después del Big Bang.
2. Materia Oscura: Algunos modelos cosmológicos han propuesto que agujeros negros primordiales de esta masa podrían ser candidatos para una parte de la materia oscura del universo.
3. Indetectabilidad: Un agujero negro que emite radiación de Hawking a la misma temperatura que el CMB sería prácticamente indetectable para nuestros telescopios. Su radiación de Hawking estaría "oculta" por el ruido de fondo universal.

Este cálculo nos da una idea tangible de las escalas extremas en las que la física cuántica y la relatividad general se encuentran, y nos invita a reflexionar sobre la posible existencia de objetos exóticos que son, por su propia naturaleza, casi imposibles de observar directamente.