En matemáticas, el género (genus, en latín; plural genera) es un invariante numérico entero no negativo que clasifica la complejidad estructural de objetos geométricos, topológicos y algebraicos. A continuación se expone la formulación rigurosa del concepto en sus tres dominios principales: topología algebraica, geometría algebraica y teoría de grafos.
1. Género Topológico (Topological Genus)
Superficies Cerradas Orientables
Para una superficie compacta, orientable y bidimensional sin frontera, el género $g \in \mathbb{N}_0$ se define operacionalmente como el número máximo de cortes a lo largo de curvas cerradas simples que no se intersecan entre sí, de modo que la superficie resultante permanezca conexa.
El género está intrínsecamente ligado a la característica de Euler-Poincaré ($\chi$) de la superficie mediante el teorema de clasificación:
Donde $\chi(M) = V - E + F$ para cualquier triangulación simplicial de la superficie con $V$ vértices, $E$ aristas y $F$ caras.
Caso $g = 0$: La esfera $S^2$ ($\chi = 2$). Es la única superficie conexa orientable simplemente conexa ($\pi_1(S^2) = 0$).
Caso $g = 1$: El toro $T^2 \cong S^1 \times S^1$ ($\chi = 0$). Su grupo fundamental es $\pi_1(T^2) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.
Caso $g \ge 2$: Superficies de género superior ($\chi < 0$). Por el Teorema de Uniformización de Poincaré, admiten una métrica de Riemann de curvatura gaussiana constante negativa ($K = -1$), siendo cocientes del plano hiperbólico $\mathbb{H}^2$.
Superficies No Orientables
Para superficies no orientables, se utiliza el género demicontrolado o no orientable $k$, definido como el número de sumandos directos de planos proyectivos $RP^2$ en la suma conexa:
2. Géneros en Geometría Algebraica (Algebraic Genera)
En el contexto del estudio de variedades algebraicas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$ (típicamente $\mathbb{C}$), coexisten dos nociones fundamentales de género para curvas proyectivas no singulares.
2.1. Género Geométrico ($g_g$)
Para una curva algebraica proyectiva suave $C$, el género geométrico se define como la dimensión del espacio vectorial de las formas diferenciales holomorfas globales (1-formas globales en la haz estructural):
Si la curva $C$ está definida sobre $\mathbb{C}$, la curva algebraica se canónicamente corresponde con una superficie de Riemann compacta de género topológico $g$. En este caso, el género geométrico coincide exactamente con el género topológico: $g_g = g$.
2.2. Género Aritmético ($p_a$)
El género aritmético se define en términos de la característica de Euler holomorfa del haz estructural $\mathcal{O}_X$ de una variedad/curva $X$:
Para curvas suaves: El género geométrico y el género aritmético son idénticos ($g_g = p_a$).
Para curvas singulares: $p_a$ es un invariante bajo deformaciones planas, mientras que $g_g$ se reduce al género de la normalización (desingularización) de la curva. La relación entre ambos viene dada por la suma sobre los puntos singulares $P$:
$$p_a(C) = g_g(\tilde{C}) + \sum_{P \in C} \delta_P$$donde $\delta_P \ge 1$ es el deltatipo del punto singular $P$.
2.3. Fórmula del Género Grado (Degree-Genus Formula)
Para una curva plana irreducible $C \subset \mathbb{P}^2$ de grado $d$ con solo puntos singulares ordinarios de multiplicidad $m_P$, su género geométrico se calcula mediante:
3. Género en Teoría de Grafos (Graph Genus)
El género de un grafo $G = (V, E)$, denotado como $\gamma(G)$, se define como el menor entero no negativo $g$ tal que el grafo admite un embebido plano (sumersión topológica) sobre una superficie orientable cerrada de género $g$ de forma que sus aristas no se crucen.
Grafos Planares: Un grafo $G$ es planar si y solo si $\gamma(G) = 0$. Cumplen la fórmula de Euler $V - E + F = 2$.
Teorema de Ringel-Youngs (1968): Determina el género del grafo completo $K_n$:
$$\gamma(K_n) = \left\lceil \frac{(n-3)(n-4)}{12} \right\rceil \quad \text{para } n \ge 3$$
Equivalencias y Relaciones Matemáticas
1. Extensión a Dimensiones Superiores: Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y Géneros Topológico-Invariantes
Cuando se extiende la noción de género desde curvas (dimensión $1$) a variedades complejas / proyectivas de dimensión arbitraria $n = \dim_\mathbb{C} X$, las distintas definiciones de género se bifurcan y se formalizan mediante clases características y teoría de haces.
1.1. Género Aritmético y Género Holomorfo de Euler
Para una variedad proyectiva suave $X$ de dimensión $n$, el género holomorfo de Euler $\chi(X, \mathcal{O}_X)$ generaliza la noción de género aritmético:
donde $h^{p,q} = \dim_k H^q(X, \Omega_X^p)$ representan los números de Hodge.
Por el Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, este género coincide con la integración de la clase de Todd del haz tangente $TX$:
Para $n = 1$ (curvas): $\chi(X, \mathcal{O}_X) = 1 - g \implies g = 1 - \chi(X, \mathcal{O}_X)$.
Para $n = 2$ (superficies): $\chi(X, \mathcal{O}_X) = 1 - q + p_g$, donde $q = h^{0,1}$ es la irregularidad y $p_g = h^{0,2}$ es el género geométrico. La fórmula de Noether establece:
$$\chi(X, \mathcal{O}_X) = \frac{K_X^2 + \chi_{\text{top}}(X)}{12}$$
1.2. El $\chi_y$-género de Hirzebruch
El $\chi_y$-género unifica el género aritmético, la característica de Euler topológica y la firma de Hirzebruch mediante un polinomio de grado $n$:
Valores especiales del parámetro $y$:
$y = 0$: Produce el género holomorfo / aritmético: $\chi_0(X) = \chi(X, \mathcal{O}_X)$.
$y = -1$: Recupera la característica de Euler topológica: $\chi_{-1}(X) = \chi_{\text{top}}(X)$.
$y = 1$: Para $n$ par, da la Firma de Hirzebruch $L(X) = \sigma(X)$ asociada a la forma de intersección en $H^n(X, \mathbb{R})$.
2. Tricotomía Aritmético-Estructural de Curvas sobre Cuerpos Numéricos
El género topológico/geométrico $g$ de una curva suave proyectiva $C$ sobre un cuerpo numérico $K$ ($\text{v.g.}, \mathbb{Q}$) dicta completamente la estructura geométrica, la teoría de grupos y la cardio-finitud de sus puntos racionales $C(K)$.
La Variedad Jacobiana $\operatorname{Jac}(C)$
Para toda curva lisa de género $g$, se construye canónicamente su Variedad Jacobiana $\operatorname{Jac}(C) = \operatorname{Pic}^0(C)$, una variedad abeliana proyectiva tal que:
El género $g$ actua como la dimensión del espacio donde se linealizan los divisores de grado cero bajo equivalencia lineal.
3. Género en Topología de Bajo Orden: Nudos y $3$-Variedades
En teoría de nudos, el género formaliza la complejidad topológica de la frontera de un nudo $K \subset S^3$.
3.1. Género de Seifert $g(K)$
Sea $K$ un nudo en $S^3$. Una superficie de Seifert $\Sigma \subset S^3$ es una superficie conexa, orientable y compacta tal que $\partial \Sigma = K$. El género del nudo $g(K)$ es:
Propiedades y Cotas Álgebraicas:
Unudo: $g(K) = 0 \iff K$ es el nudo trivial.
Aditividad bajo Suma Conexa: Para dos nudos $K_1$ y $K_2$:
$$g(K_1 \sharp K_2) = g(K_1) + g(K_2)$$Cota del Polinomio de Alexander: Sea $\Delta_K(t)$ el polinomio de Alexander del nudo $K$. El género satisface:
$$g(K) \ge \frac{1}{2} \operatorname{deg} \Delta_K(t)$$donde $\operatorname{deg} \Delta_K(t) = \max_i \{a_i \neq 0\} - \min_j \{a_j \neq 0\}$.
4. Género Aritmético de Formas Cuadráticas (Teoría Gaussiana)
En teoría analítica de números, el término género (genus) definido originalmente por Carl Friedrich Gauss no refiere a superficies, sino a la clasificación de formas cuadráticas enteras $q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$.
Definición
Dos formas cuadráticas enteras $q_1$ y $q_2$ pertenecen al mismo género si son equivalentemente locales sobre los enteros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$ para todo primo $p$, y sobre los números reales $\mathbb{R}$:
Relación con la Teoría de Haces: Por el Principio Local-Global de Hasse, si dos formas están en el mismo género, representan localmente a los mismos enteros. La obstrucción a que pertenezcan a la misma clase de equivalencia global sobre $\mathbb{Z}$ está medida por el grupo de clases del orden asociado.
5. Matriz Matizada de Dualidades y Relaciones Exactas
El siguiente esquema integra y contrasta de manera exhaustiva las relaciones de igualdad, inclusión y convergencia entre las distintas conceptualizaciones del género:
