
La teoría de cuerdas, teoría M, teoría F, o como quieras llamarla,
pretende describir la realidad a muy alta energía, la escala de Planck.
La física a baja energía que nos rodea todos los días e incluso la
física a “altas” energías en los grandes colisionadores de partículas
corresponden al vacío de la teoría ST/M/F, pues son energías ridículas
comparadas con la energía de Planck. Como vivimos en el vacío de la
teoría, una cuestión importante es saber si el número de vacíos posibles
en la teoría ST/M/F es finito o infinito, y en caso de que sea finito,
obtener una estimación de su número.
La conjetura “oficial” es que hay un número finito de vacíos
posibles, pero no está demostrado; en cuanto a la estimación de dicho
número hay muchas opciones que van desde los 10
20 vacíos de Douglas, pasando por los 10
120 de Weinberg, llegando hasta los 10
506 de Bousso-Polchinski. Por concretar un número “razonable” se suele decir en casi todo los sitios que son unos 10
500 vacíos (porque es un número redondo y queda muy bonito). Un número inimaginable que nos lleva al problema del paisaje (
landscape), quizás la teoría ST/M/F es una teoría de todas las cosas posibles, incluyendo todo lo que nos rodea.
Quizás conviene que recordemos cómo se cuentan los vacíos y por qué
es tan difícil estimar cuántos son. Me ha recordado este problema la
lectura de Tamar Friedmann, Richard P. Stanley, “The String Landscape:
On Formulas for Counting Vacua,” Accepted in Nucl. Phys. B,
arXiv:1212.0583,
Subm. 3 Dec 2012. Esta entrada le parecerá muy técnica a algunos y muy
ligera a otros. Explicar estas cosas es difícil y yo soy un humilde
aprendiz.
En la teoría de (super)cuerdas el espaciotiempo tiene 10 dimensiones
(10D), separadas en dos partes, 4 del espaciotiempo de Minkowski
ordinario (4D) y 6 dimensiones extra (6D), que no notamos porque son
compactas (“muy pequeñas”). La forma de las 6 dimensiones extra debe
corresponder a una solución para el vacío de las ecuaciones de Einstein
de la gravedad. Si la variedad 6D se entiende en variable real, la única
solución es un espaciotiempo plano. Sin embargo, si se considera la
variedad 6D como una variedad en variable compleja de dimensión tres,
existen soluciones de las ecuaciones de Einstein para el vacío, llamadas
variedades de Calabi-Yau (CY); Calabi conjeturó su existencia y Yau la
demostró (recibió por ello la Medalla Fields) usando un método no
constructivo.
¿Cuántas variedades de CY hay? El propio Yau ha conjeturado que hay
unas 30.000 variedades CY (por ordenador se han calculado unas 15.000),
pero quizás haya más; sin embargo, muchos matemáticos, como Reid, creen
que hay un número infinito. Por tanto, a día de hoy nadie sabe cuántas
variedades de CY existen y no se puede descartar que su número sea
infinito. Lo importante que hay que recordar es que esto no importa,
como veremos en lo que sigue.
Cada variedad CY tiene una serie de parámetros continuos, los módulos (
moduli),
que especifican su forma y de tamaño; no es una variedad CY, pero un
cilindro 2D (un dónut) está definido por dos radios que determinan su
forma y su tamaño, que serían sus módulos. En teoría cuántica de campos
(y la teoría de cuerdas lo es) los módulos corresponden a campos
escalares y a sus correspondientes partículas; mucha gente se imagina
“vibraciones” de las cuerdas a lo largo de un módulo como partículas del
campo asociado. ¿Cuántos módulos tiene una variedad CY típica? No se
sabe, pero se cree que es un número finito y pequeño. Se conocen
variedades de CY con 101 módulos y otras con uno solo, pero la mayoría
parece tener decenas de módulos.
El vacío de la teoría corresponde al estado de energía mínima. Para
calcular este mínimo se suele recurrir al flujo del campo de cuerdas a
través de la compactificación en la variedad de CY, aunque hay algunos
autores como Banks que consideran que este procedimiento no es adecuado.
Este proceso requiere minimizar una integral sobre la variedad
parametrizada por los módulos. La geometría complicada de estas
variedades hace que tengan muchos mínimos para el flujo (pero como son
compactas dicho número es finito); el flujo del campo en estos mínimos
puede ser estable, metaestable o inestable; los vacíos de la teoría se
supone que corresponden a los mínimos estables (aunque algunos teóricos
de cuerdas también consideran los metaestables). Además, los valores del
flujo del campo están cuantizados (puede haber 1, 2, 3, …, unidades de
flujo, pero no puede haber 1,46 o pi unidades de flujo). Contar el
número de vacíos requiere contar cuántas variedades de CY tienen mínimos
estables y cuántos valores discretos pueden tener los flujos en dichas
variedades CY. La tarea no es fácil.
La labor de contar el número de vacíos parece casi imposible dada
nuestra ignorancia sobre las variedades CY, sin embargo, hay un truco
muy curioso, utilizar un potencial efectivo que gobierne la física a
baja energía (esta idea tiene detractores pues no da cuenta de los
efectos cuánticos de la gravedad, que es tratada de forma clásica). El
potencial efectivo será resultado de la rotura de la supersimetría en la
teoría de cuerdas. La ventaja de usar un potencial efectivo es que se
pueden usar ideas de cosmología para restringir los posibles vacíos
estables de la teoría. El potencial efectivo se comporta como un
“paisaje de cuerdas” (
string landscape) y los mínimos estables
del potencial serían como mínimos “geométricos” en dicho “paisaje.”
Estos mínimos conforman un conjunto “discreto” de parámetros efectivos a
baja energía y tiene sentido aplicar técnicas estadísticas para estimar
su número.
La forma general del potencial efectivo a baja energía se puede
conjeturar (hay varias propuestas o técnicas para hacerlo que se suelen
llamar técnicas de estabilización del vacío). Los posibles mínimos del
potencial efectivo se corresponden con propiedades geométricas de la
variedad de Calabi-Yau, como el número de ciclos (una generalización del
número de Betti en las superficies); de esta forma se obtienen
conjuntos para los posibles vacíos del flujo del campo de cuerdas que se
pueden contar utilizando herramientas geométricas. Se conocen varias
técnicas de estabilización del vacío y cada una ofrece una cuenta
diferente para el número de vacíos; aunque estas técnicas no son
aplicables a todas las teorías de cuerdas (recuerda que hay cinco
teorías), como éstas son duales entre sí (representan la misma física),
se supone que las cuentas deberían coincidir para todas ellas. Los
primeros trabajos que contaron el número de vacíos se centraron en las
teorías de cuerdas IIB y IIA, pero en los últimos años también se han
aplicado a las cuerdas heteróticas. El problema es que los números no
suelen coincidir en las diferentes teorías de cuerdas, lo que disgusta a
algunos expertos.
La técnica más famosa para contar vacíos, aplicada a la teoría de
cuerdas IIB, fue introducida por Kachru, Kallosh, Linde y Trivedi, por
eso se llama técnica KKLT. Utilizando técnicas de D-branas, KKLT logran
estabilizar los vacíos restringiendo los módulos de tamaño de las
variedades de CY; lo sorprendente es que su idea también restringe de
forma “milagrosa” los módulos de forma. Todo ello les permite contar el
número de vacíos posibles. Obviamente, la técnica KKLT es solo un
“modelo de juguete” de cómo se pueden estabilizar los módulos. ¿Cuántos
vacíos hay según la técnica KKLT en una teoría de cuerdas IIB? El
artículo técnico ofrece varios valores, dependiendo de ciertos detalles
técnicos del modelo efectivo utilizado, unos 10
307, 10
398, o 10
506 vacíos. Que
el mismo artículo/técnica ofrezca valores tan variados puede hacer
sospechar de la calidad del resultado, por ello muchos expertos afirman
que KKLT estimaron unos 10
500 vacíos. Un número “redondo” donde los haya.
¿Cuántos vacíos hay la teoría M en once dimensiones? En esta teoría
las 7 dimensiones extra (7D) se compactifican utilizando una variedad
con grupo de holonomía G2. Estas variedades son mucho más díficiles de
estudiar que las variedades CY y se conocen poco sus propiedades.
También se ha conjeturado que hay un número finito, pero sin
demostración. Las variedades G2 tiene módulos y se han desarrollado
técnicas de estabilización del vacío que permiten contar su número. De
nuevo, se obtienen muchos.
¿Cuántos vacíos hay en la teoría F en doce dimensiones? En esta
teoría las 8 dimensiones extra (8D) se compactifican en una variedad de
Calabi-Yau con 4 dimensiones complejas. Muchas de las técnicas de
estabilización de vacíos para la teoría de cuerdas se pueden utilizar en
este contexto. Aunque me repita, de nuevo, se obtienen muchos.
¿Realmente el problema del “paisaje” es un problema en la teoría
ST/M/F? Muchos físicos interpretan este problema como una señal de que
la teoría ST/M/F no puede ser la respuesta correcta (promete mucho pero
no ayuda nada de nada). Sin embargo, muchos físicos de cuerdas
argumentan que el problema del paisaje quizás no es un problema. Quizás
el problema es que no conocemos las técnicas matemáticas adecuadas para
estabilizar el vacío y estamos dando palos de ciego con nuestras torpes
técnicas actuales. Quizás la teoría ST/M/F tiene un único vacío y
predice el universo que conocemos. El único universo que conocemos.
Quizás, el único universo posible.
¿La teoría ST/M/F es metafísica? ¿Es solo matemática? ¿Hay física en la teoría ST/M/F?
Recomiendo leer a T. Banks, “The Top 10^{500} Reasons Not to Believe in the Landscape,”
arXiv:1208.5715, 28 Aug 2012. Y por supuesto, la opinión contraria de Lee Smolin, “A perspective on the landscape problem,”
arXiv:1202.3373, 15 Feb 2012.